¿Qué demonios es el infinito?

El infinito ha desconcertado a la humanidad desde la antigüedad. Hay que ser consciente de que no se trata de un número concreto, sino más bien una idea; algo que existe solo como abstracción. Infinito no puede ser un número concreto, por ejemplo, x, porque podemos, por la lógica de la suma, agregar 1 a x y crear un nuevo infinito. Después podríamos sumar otra unidad y crear un infinito más grande. Incluso podríamos agregar infinito al infinito para crear quizás el infinito de todos los infinitos, pero, hecho eso, podríamos agregar a este infinito otra unidad y ... vuelta a empezar.

El universo microscópico no es diferente. Lo opuesto al infinito se llama infinitesimal, y su carácter es igualmente extraño. A diferencia de los números enteros, los números reales no son rígidos. Su naturaleza fragmentada nos permite encontrar y crear números infinitos entre dos números cualquiera. Un número se puede combinar tantas veces como se pueda dividir. Puede haber un centenar de números entre 0 y 1, desde 0,01 a 0,99, o incluso millones, porque solo hay que agregar ceros después de la coma decimal, es decir, basta dividirlo cada vez más y más para crear números nuevos. Entonces, aunque 0,00000000000000001 parece infinitesimal, uno puede dividirlo por 10 para crear un nuevo infinitesimal: 0,000000000000000001.

Así que, como sucede con el infinito, el infinitesimal existe solo como abstracción, pero su incertidumbre resulta muy desconcertante para matemáticos y físicos. Hablemos de los errores infinitesimales.

El lenguaje matemático subyace en nuestras ideas sobre los fenómenos físicos, por lo que una inconsistencia en Matemáticas se traduce en una inconsistencia en Física, en nuestro conocimiento de la naturaleza, de la realidad. La inconsistencia surge de la incertidumbre del valor de infinitesimal, que se ha utilizado para derivar muchas fórmulas cruciales. De hecho, toda una rama de las matemáticas se basa en lo infinitesimal, sin la cual el progreso en física habría sido extraordinariamente lento.

Figura 1. Página del libro de Kepler Nova stereometria doliorum vinariorum en la que calcula el área de un círculo mediante triángulos. La flecha roja es mía. 

Veamos el caso del área de un círculo. Kepler escribió Nova stereometria doliorum vinariorum (Nueva geometría sólida de los barriles de vino) en 1615. Este libro es un trabajo sistemático sobre el cálculo de áreas y volúmenes usando técnicas infinitesimales. Kepler comienza su libro con el problema de determinar el área de un círculo (Figura 1). Considera el círculo como un polígono regular con un número infinito de lados, y su área formada por triángulos infinitesimales. Básicamente, pues, Kepler calculó el área de un círculo dividiéndolo en triángulos. El área del círculo, por lo tanto, sería la suma de las áreas de cada uno de los triángulos.

Pero observe en la Figura 2 que un círculo se puede dividir en cuatro triángulos mediante dos diámetros, pero los lados de estos triángulos no se ajustan a las curvas exactamente y excluyen algún espacio, por lo que el área calculada es errónea.

Figura 2: Área del círculo descompuesto en triángulos.

Para reducir el error, podemos dibujar más diámetros para crear más triángulos de lados más cortos. Sin embargo, aunque el error se reduce sigue siendo finito. Entonces, dividimos el círculo en más y más triángulos hasta que no quede espacio libre. Sin embargo, para eliminar este error por completo, debemos dividirlo en un número infinito de triángulos. Bien, como una línea puede interpretarse como parte de un círculo enorme, podemos decir que nuestro círculo está compuesto por líneas infinitas, que se aproximan por las bases infinitesimales de nuestros infinitos triángulos.

En su explicación, Kepler escribió que «La circunferencia tiene tantas partes como puntos, cada parte forma la base de un triángulo isósceles con vértice en el centro de la circunferencia. Entonces el círculo está formado por infinitos triángulos pequeños, cada uno con su base en la circunferencia y cuya altura es igual al radio del círculo. Sustituyendo estos triángulos por un único triángulo con la circunferencia como base, el área del círculo se puede expresar en términos de la circunferencia y el radio».

En definitiva, para entendernos, que la secuencia de triángulos recuerda vagamente a un abanico chino. Todos los triángulos ocupan un área igual, pero podemos convertir el abanico en un gran triángulo distribuyendo o estirando esa área. Los perímetros han cambiado, pero el área total sigue siendo la misma. Como el vértice de ese triángulo es el centro del círculo, su altura es la longitud del abanico (es decir, el radio del círculo) y la base la circunferencia del círculo. El área es la base por altura dividida por dos, es decir, ½ veces r por 2πr o πr². (Figuras 3 y 4)

Figura 3. Cálculo del área del círculo.

Esta es, por supuesto, la respuesta correcta, pero el resultado sigue siendo erróneo. Las bases deben ser verdaderamente infinitesimales, de lo que resulta que, aunque Kepler dibuje triángulos verdaderamente estrechos, sabemos que podría haber dibujado más. En el momento en que deje de dibujar triángulos, dejará espacios que, aunque sean realmente muy pequeños, siguen siendo finitos y el cálculo del área del círculo es ligeramente errónea. Si bien esto pueda incomodar a un matemático, la mayoría "ignora" tales diferencias porque, como hemos visto, los resultados obtenidos no son incorrectos.

Figura 4. Zoom del área del borde del círculo.

Como su propio nombre indica, el Cálculo Infinitesimal, inventado o descubierto por Leibniz y Newton independientemente, también se basa en infinitesimales. Esa rama de las matemáticas se ocupa del cambio mediante curvas. Por ejemplo, cuando integramos una función, básicamente calculamos el área bajo la curva que dibuja. Sin embargo, como hacemos al calcular el área de un círculo, básicamente lo calculamos aproximando la curva con rectángulos infinitamente delgados. Cuanto más delgados sean los rectángulos, menor será el error.

La Figura 5 presenta el diagrama del área de la curva. El área de un rectángulo es el producto de su longitud, el valor en el eje Y en ese punto de la curva, por su anchura, la unidad infinitesimal que llamamos 'dx'. Calculamos el área de cada rectángulo y los sumamos para determinar el área bajo la curva (Figura 5). Esto es muy útil en Física. Por ejemplo, el área bajo la curva de velocidad de un cuerpo nos da el valor de su desplazamiento, pero, si es así ¿el resultado no debería ser erróneo, como ocurre con el área del círculo?

Figura 5. Diagrama del área de una curva.

Este problema irresoluble desconcertó a los matemáticos durante los dos siglos que siguieron a la invención del cálculo hasta que se precisó el concepto de límites. Los límites estaban implícitos en el trabajo de Newton y Leibniz, pero fueron modificados y redefinidos más tarde, a principios de 1800. Las nuevas ideas resultaron ser matemáticamente rigurosas y consistentes. Hace más de cuarenta y cinco años que estudié Cálculo Infinitesimal en el curso Selectivo con el que me estrené en la universidad, así que me hago cargo de mi ignorancia, por lo que solo me queda decir que sus detalles están más allá del alcance de este artículo, aunque debo decir que los límites permitieron finalmente a los matemáticos deshacerse de los infinitesimales para siempre.

De lo que todavía no nos hemos librado es de lo absurdo que es el infinito. © Manuel Peinado Lorca. @mpeinadolorca.