El mayor defecto de la raza humana y el bastón de hockey

El difunto Dr. Albert Bartlett, profesor de Física en la Universidad Colorado en Boulder, era mundialmente famoso por su disertación sobre el crecimiento exponencial. Millones de personas han visto su charla en YouTube. Una notable cita de ella es la esta: «El mayor defecto de la raza humana es nuestra incapacidad para comprender la función exponencial».

Una cuestión de importancia crítica es si muchos de economistas, políticos e incluso científicos de hoy en día entienden realmente el crecimiento exponencial o si son conscientes de las graves consecuencias de no entenderlo. Inspirándome en el Dr. Bartlett, intentaré ofrecer unos ejemplos ilustrativos. Empezaré con un viejo cuento cuyo nacimiento unos sitúan en China, otros en Persia y no pocos en Arabia.

Cuentan que el gran visir, el primer consejero del rey, había inventado un nuevo juego. Se jugaba con piezas móviles sobre un tablero cuadrado formado por 64 casillas blancas y negras. El rey se sintió tan complacido con el nuevo juego que pidió al gran visir que pidiera una recompensa por tan maravillosa invención. El avispado visir ya tenía la respuesta preparada. Él era un hombre modesto y se conformaba con una modesta gratificación. Señalando las ocho columnas y las ocho filas de casillas del tablero, solicitó que le entregase un solo grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, el doble de eso por la tercera y así sucesivamente hasta que cada casilla recibiese su porción de trigo. No, replicó el rey, ese era un mísero premio para una invención tan importante. Le ofreció el oro y el moro. Pero el humilde visir  lo rechazó todo. Sólo le interesaban aquellos montoncitos de trigo. Así que, maravillado de la austera humildad de su consejero, el monarca accedió.

Cuando el senescal empezó a contar los granos, el rey se encontró con una desagradable sorpresa. Al principio el número de granos de trigo era bastante pequeño: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, pero en las cercanías de la sexagésima cuarta casilla las cifras eran asombrosas: De hecho, el número final rondaba los 18,5 trillones de granos. ¿Qué cuánto pesan esos granos de trigo? Si cada grano mide un milímetro, todos juntos pesarían unos 75.000 millones de toneladas, mucho más de lo que podían contener los graneros del shah. De hecho, es el equivalente de la producción actual de trigo en todo el mundo multiplicada por 150.

Veamos ahora el cálculo que debería haber hecho el rey antes de picar en el anzuelo de su visir. No se asuste. Es un cálculo muy fácil. Una manera perfectamente exacta de calcularlo es la siguiente: El exponente nos dice cuántas veces tenemos que multiplicar 2 por sí mismo. 2² = 4. 2⁴ = 16. 2¹⁰ = 1 024, etc. Llamemos S al número total de granos del tablero de ajedrez, desde 1 en la primera casilla a 263 en la sexagésima cuarta. Entonces, sencillamente,

S = 1 + 2 + 2² + 2³ +. . . + 2⁶² + 2⁶³

Multiplicando por dos ambos términos de la ecuación, resultará

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +. . . + 2⁶³ + 2⁶⁴

Restando la primera ecuación de la segunda, tenemos

2S – S = S = 2⁶⁴ – 1

Esa es la respuesta exacta: 18,6 trillones de granos en números redondos. Podía haber sido peor: Si el visir hubiera inventado un ajedrez con cien casillas en vez de 64, la deuda en granos de trigo habría pesado tanto como la Tierra. Una sucesión de números como esta, en la que cada uno es un múltiplo fijo del anterior, recibe el nombre de progresión geométrica, y el proceso se denomina crecimiento exponencial. 

Los crecimientos exponenciales aparecen en toda clase de ámbitos importantes, familiares o no. Habitualmente se nos presentan en forma de porcentajes. Veamos el caso del crecimiento anual en un determinado porcentaje.  En estos casos, aunque el crecimiento exponencial se puede describir mediante una fórmula matemática, es más fácil entenderlo usando la sencilla «Regla del 70».

Figura 1

Esa regla dice cuánto tiempo tarda una determinada magnitud en duplicarse (el «tiempo de duplicación»). Se trata simplemente de dividir 70 por la tasa de crecimiento porcentual. 
La ley del 70 dice que a un 1% de crecimiento por año, tardará 70 años en producirse la duplicación, ya sea de dinero, población u otra variable.  Siguiendo el mismo razonamiento al 2% va a tomar (70/2=) 35 años. Al 3% va a tomar (70/3=) 23 años duplicarse y así sucesivamente. Por ejemplo, si  China tiene una tasa de crecimiento económico anual del 7%, ¿cuánto tiempo tardará la economía China en duplicar su tamaño? De acuerdo con la «Regla del 70», 70/7 = 10, lo que significa que la economía de China se duplicará en sólo 10 años. De hecho, la economía de China creció así entre 2000 y 2010.

Curiosamente, eso también significa que, durante los primeros diez años de este siglo, la economía de China tuvo más outputs, es decir, produjo más de lo que lo había hecho en toda la historia anterior del país. Durante la primera década de este siglo, China consumió tanto petróleo como lo había hecho durante todo el siglo anterior. Si el crecimiento de China continuara al mismo ritmo su consumo de petróleo debería crecer desde los 9,3 millones de barriles diarios (Mb/d) en 2010 a 18,6 Mb/d en 2020. Ese aumento es mayor que todo el petróleo exportado actualmente por Arabia Saudita.

Apliquemos ahora la regla del 70 al caso de una piscina de dimensiones modestas, pongamos de 250.000 litros de capacidad, como la que suelen tener las piscinas de los hoteles. Una gota de agua tiene un diámetro de entre 2 y 4 milímetros. Vamos a elegir una gota con un volumen de 10 milímetros cúbicos, (es decir, 1 x 10-8 m³). Eso significa que un litro de agua contendrá 100.000 gotas. Imagine ahora la piscina vacía, pongamos un cubo de fregar en el fondo y, con la ayuda de un cuentagotas, vamos echando gotas cada vez más rápido. Echamos una gota en el primer minuto, dos gotas en el segundo, cuatro gotas en el tercero y así sucesivamente. En el minuto diez serán 1024 gotas. Hagamos un par de preguntas:

1. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que el cubo esté lleno?

2. ¿Cuándo se llenará completamente la piscina?

Las respuestas son 41 minutos y 52 minutos, respectivamente. El cubo tardará casi tres cuartos de hora en rebosar, pero la piscina se llenará en tan solo 12 minutos más. El crecimiento exponencial ocurre sin importar el período de tiempo que elijamos. Recuerde, la tasa de crecimiento anual del 7% de China hizo que su economía se duplicará en tan solo 10 años. Si pensamos en la piscina como la representación de un recurso limitado (por ejemplo, de las reservas mundiales de petróleo) nos daremos cuenta de que cualquier forma de crecimiento exponencial que consuma un recurso finito tendrá un final espectacular. Por lo tanto, es fundamental que comprendamos que el recurso depende del crecimiento. Si queremos continuar creciendo tenemos que encontrar otro recurso para reemplazar a cualquier recurso esencial que se haya vuelto limitado y el nuevo recurso tendrá que ser mucho más abundante que el anterior. E incluso si el nuevo recurso es más abundante que el anterior, habrá problemas si no se puede explotar tan rápidamente y al mismo coste. La velocidad a la que pueden ser consumidos los recursos se vuelve crítica.

Figura 2. Fuente

La curva de la Figura 2 muestra el rápido aumento que se conoce habitualmente como el «bastón de hockey», cuyo ejemplo más conocido es el que muestra el crecimiento de la población humana. Si nos fijamos en la población mundial desde hace miles de años hasta hoy veremos un perfecto «bastón de hockey». Así que es obvio que se avecina un período crítico. El globo terráqueo tiene una capacidad limitada para producir alimentos y, por tanto, hay un límite para el número de personas que puede alimentar.

Figura 3. Fuente

Otro interesante «bastón de hockey» es el crecimiento de la deuda anual de Estados Unidos y de la deuda en relación con el crecimiento económico (Figura 3). Hasta el año 2005, el crecimiento económico que facilitó el dinero prestado fue suficiente para compensar el aumento del nivel de la deuda. Desde 2002, el año en el que el presidente Bush asumió el poder en los Estados, la deuda creció un 9,3% al año. 

Acabamos de aprender que el crecimiento exponencial puede tener consecuencias. Si la deuda sigue creciendo como lo hizo desde 2002 hasta el año 2013 ascenderá a más de 30 billones de dólares en 2020. La relación entre el PIB y la deuda nacional muestra que los Estados Unidos están en declive, y que el país está tan endeudado como lo estaba después Segunda Guerra Mundial. Esto significa que la era del crecimiento exponencial de la economía de Estados Unidos está probablemente tocando a su fin.

Ahora que es consciente usted de los «bastones de hockey» que acabo de exponer, es de esperar que se convierta en uno de los millones de espectadores que han visto la conferencia del Dr.Albert Bartlett en YouTube y recuerde:

«El mayor defecto de la raza humana es nuestra incapacidad para comprender la función exponencial».